Theoretische Chemie I

Folien

Übungsaufgaben

Übung 1: Erste Schritte

1. Wellenlängen

Berechnen Sie die de Broglie-Wellenlänge eines Elektrons, das sich mit \(v = 2{,}0 \times 10^6\) m/s bewegt und die eines Golfballs (\(m = 45\) g) bei einer Geschwindigkeit von \(v = 40\) m/s. Vergleichen Sie beide Ergebnisse und interpretieren Sie hinsichtlich der Beobachtbarkeit von Quanteneffekten.

2. Auf einer Welle

Berechnen Sie die Wellenlänge des emittierten Lichts beim elektronischen Übergang \(n = 3 \to n = 2\) im Wasserstoffatom (H-alpha-Linie). In welchem Bereich des elektromagnetischen Spektrums liegt diese Linie?

3. Grenzfälle

Zeigen Sie, dass sich das Modell von Rayleigh-Jeans als der Grenzfall des Planck-Modells für verschwindende Quantisierung ergibt.

Übung 2: Bohr-Modell

1. Energie

Leiten Sie aus der de Broglie-Wellenlänge und der Annahme einer stehenden Welle im Bohr-Modell den folgenden Ausdruck für die Winkelgeschwindigkeit \(\omega = v/r\) her:

\[\omega^2 = \frac{n^2\hslash^2}{r^4m^2}\]

Nutzen Sie dann die Gleichgewichtsbedingung für die Bahn und obigen Ausdruck, um den Radius \(r\) in Abhängigkeit von \(n\) und Naturkonstanten auszudrücken.

Nutzen Sie dann den Virialsatz, um folgenden Ausdruck für die Gesamtenergie aus der kinetischen Energie zu erhalten:

\[E = -\frac{m_e e^4}{8\epsilon_0^2 h^2}\cdot\frac{1}{n^2}\]

2. Nachbarn

Welches Energieniveau für He\(^+\) und Li\(^{2+}\) hat im Bohr-Modell die gleiche Energie wie das \(n=1\)-Niveau für Wasserstoff?

3. Gravitation

Die funktionelle Form von Gravitation und Elektrostatischer Interaktion ähneln sich stark. Zeigen Sie, dass für atomare Massen und Längenskalen die Gravitation vernachlässigbar ist.

Übung 3: Schrödinger

1. Was Phase ist

Zeigen Sie, dass für eine normalisierte Ortswellenfunktion \(\psi(\mathbf{x})\) und eine Zeitfunktion \(\phi(t)=\exp(-iEt/\hslash)\) im Produktansatz \(\Psi(\mathbf{x}, t) = \phi(t)\psi(\mathbf{x})\)

der Erwartungswert des Hamilton-Operators die Energie ist,
und die Elektronenaufenthaltswahrscheinlichkeit stationär (zeitunabhängig) ist.

2. Völlig normal

Normalisieren Sie die Wellenfunktion \(\psi(x)=N\exp(-\alpha|x|)\) mit \(\alpha>0\), indem Sie das \(N\) finden, für das \(\langle \psi|\psi\rangle = 1\).

3. Im Kasten stehend

Zeigen Sie, dass die Wellenfunktionen einer stehenden Welle \(\psi_n(x)=N\sin(n\pi x/L)\) mit Konstante \(L\) orthogonal sind, d.h. \(\langle \psi_n|\psi_m\rangle = 0\) für alle \(n\neq m\). Berechnen Sie \(N\) durch Normalisierung der Wellenfunktion.