Theoretische Chemie I

Folien

Übungsaufgaben

Übung 1: Erste Schritte

1. Wellenlängen

Berechnen Sie die de Broglie-Wellenlänge eines Elektrons, das sich mit \(v = 2{,}0 \times 10^6\) m/s bewegt und die eines Golfballs (\(m = 45\) g) bei einer Geschwindigkeit von \(v = 40\) m/s. Vergleichen Sie beide Ergebnisse und interpretieren Sie hinsichtlich der Beobachtbarkeit von Quanteneffekten.

2. Auf einer Welle

Berechnen Sie die Wellenlänge des emittierten Lichts beim elektronischen Übergang \(n = 3 \to n = 2\) im Wasserstoffatom (H-alpha-Linie). In welchem Bereich des elektromagnetischen Spektrums liegt diese Linie?

3. Grenzfälle

Zeigen Sie, dass sich das Modell von Rayleigh-Jeans als der Grenzfall des Planck-Modells für verschwindende Quantisierung ergibt.

Übung 2: Bohr-Modell

1. Energie

Leiten Sie aus der de Broglie-Wellenlänge und der Annahme einer stehenden Welle im Bohr-Modell den folgenden Ausdruck für die Winkelgeschwindigkeit \(\omega = v/r\) her:

\[\omega^2 = \frac{n^2\hslash^2}{r^4m^2}\]

Nutzen Sie dann die Gleichgewichtsbedingung für die Bahn und obigen Ausdruck, um den Radius \(r\) in Abhängigkeit von \(n\) und Naturkonstanten auszudrücken.

Nutzen Sie dann den Virialsatz, um folgenden Ausdruck für die Gesamtenergie aus der kinetischen Energie zu erhalten:

\[E = -\frac{m_e e^4}{8\epsilon_0^2 h^2}\cdot\frac{1}{n^2}\]

2. Nachbarn

Welches Energieniveau für He\(^+\) und Li\(^{2+}\) hat im Bohr-Modell die gleiche Energie wie das \(n=1\)-Niveau für Wasserstoff?

3. Gravitation

Die funktionelle Form von Gravitation und Elektrostatischer Interaktion ähneln sich stark. Zeigen Sie, dass für atomare Massen und Längenskalen die Gravitation vernachlässigbar ist.

Übung 3: Schrödinger

1. Was Phase ist

Zeigen Sie, dass für eine normalisierte Ortswellenfunktion \(\psi(\mathbf{x})\) und eine Zeitfunktion \(\phi(t)=\exp(-iEt/\hslash)\) im Produktansatz \(\Psi(\mathbf{x}, t) = \phi(t)\psi(\mathbf{x})\)

der Erwartungswert des Hamilton-Operators die Energie ist,
und die Elektronenaufenthaltswahrscheinlichkeit stationär (zeitunabhängig) ist.

2. Völlig normal

Normalisieren Sie die Wellenfunktion \(\psi(x)=N\exp(-\alpha|x|)\) mit \(\alpha>0\), indem Sie das \(N\) finden, für das \(\langle \psi|\psi\rangle = 1\).

3. Im Kasten stehend

Zeigen Sie, dass die Wellenfunktionen einer stehenden Welle \(\psi_n(x)=N\sin(n\pi x/L)\) mit Konstante \(L\) orthogonal sind, d.h. \(\langle \psi_n|\psi_m\rangle = 0\) für alle \(n\neq m\). Berechnen Sie \(N\) durch Normalisierung der Wellenfunktion.

Übung 4: Wasserstoffatom

1. Mittel-maß

Für die 1s-Wellenfunktion des Wasserstoffatoms sei \(\Psi(r)=N\exp(-r/r_0)\) mit Konstanten \(N, r_0\). Für welchen Abstand \(r\) wird die radiale Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons maximal? Was ist der mittlere Abstand des Elektrons vom Kern?

2. Elementar kombiniert

Zeigen Sie, dass es unter Vernachlässigung des Spins für die Hauptquantenzahl \(n\) insgesamt \(n^2\) Lösungen für die Schrödingergleichung des Wasserstoffatoms gibt. Ändert sich die Antwort für He\(^+\)?

3. Right Round

Skizzieren Sie die Aufenthaltsdichte des Elektrons im 3s-Orbital des Wasserstoffatoms in der xy-Ebene. Beschriften Sie die Achsen in Bohrradien. Wieviele Winkelknoten und wieviele Radialknoten gibt es in diesem Fall? Sind diese Knoten Punkte oder Flächen in drei Dimensionen?

Übung 5: Basisfunktionen

1. Same same, but different

Die folgende Tabelle stellt die Darstellung eines Vektors in einer Basis der Entwicklung einer Funktion nach Basisfunktionen gegenüber. Die mathematische Struktur ist in beiden Fällen identisch – es ändert sich ausschließlich die Definition des Skalarprodukts.

Vektorraum \(\mathbb{R}^2\)	Funktionenraum
Basisvektor \(\mathbf{e}_i\)	Basisfunktion \(\varphi_i(x)\)
Skalarprodukt \(\;\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \sum_k u_k v_k\)	Skalarprodukt \(\;\langle f, g \rangle = \int f(x)\, g(x)\, \mathrm{d}x\)
Orthogonalität: \(\mathbf{e}_i \cdot \mathbf{e}_j = 0 \;(i \neq j)\)	Orthogonalität: \(\langle \varphi_i, \varphi_j \rangle = 0 \;(i \neq j)\)
Norm: \(\lVert \mathbf{e}_i \rVert^2 = \mathbf{e}_i \cdot \mathbf{e}_i\)	Norm: \(\lVert \varphi_i \rVert^2 = \langle \varphi_i, \varphi_i \rangle\)
Koeffizient: \(c_i = \dfrac{\mathbf{e}_i \cdot \mathbf{v}}{\mathbf{e}_i \cdot \mathbf{e}_i}\)	Koeffizient: \(c_i = \dfrac{\langle \varphi_i, f \rangle}{\langle \varphi_i, \varphi_i \rangle}\)
Darstellung: \(\mathbf{v} = \displaystyle\sum_i c_i\, \mathbf{e}_i\)	Entwicklung: \(f(x) = \displaystyle\sum_i c_i\, \varphi_i(x)\)

Gegeben sind die Basisvektoren \(\mathbf{e}_1 = (1,\, 0)^T\) und \(\mathbf{e}_2 = (0,\, 1)^T\) sowie der Vektor \(\mathbf{v} = (5,\, 3)^T\). Zeigen Sie, dass die Basisvektoren orthogonal sind und errechnen Sie explizit die Koeffizienten \(c_1\) und \(c_2\).
Gegeben sind die Basisfunktionen \(\varphi_1(x) = 1\) und \(\varphi_2(x) = x\) auf dem Intervall \([-1,\, 1]\) sowie die Funktion \(f(x) = 5 + 3x\). Zeigen Sie, dass die Basisfunktionen über dem Intervall orthogonal sind, indem Sie \(\langle \varphi_1, \varphi_2 \rangle\) bestimmen. Berechnen Sie die Koeffizienten \(c_1\) und \(c_2\) um \(f(x)\) darzustellen.

2. Basis, wechsle dich

Gesucht werden die Koeffizienten \(c_i\), mit denen sich ein Vektor oder eine Funktion in einer Basis \(\{\mathbf{e}_i\}\) oder \(\{\varphi_i\}\) darstellen lässt. Die drei Schritte sind stets dieselben:

\[S_{ij} = \langle \varphi_i,\, \varphi_j \rangle \qquad p_i = \langle \varphi_i,\, f \rangle \qquad \mathbf{S}\,\mathbf{c} = \mathbf{p}\]

(oder analog für \(\{\mathbf{e}_i\}\)). Sind die Basiselemente orthogonal, ist \(\mathbf{S}\) diagonal und jede Gleichung entkoppelt: \(c_i = p_i / S_{ii}\).

Gegeben sind die Basisvektoren \(\mathbf{b}_1 = (1,\,1)^T\) und \(\mathbf{b}_2 = (-1,\,1)^T\) sowie \(\mathbf{v} = (3,\,1)^T\). Berechnen Sie \(\mathbf{S}\) und \(\mathbf{p}\). Lösen Sie \(\mathbf{S}\,\mathbf{c} = \mathbf{p}\) um \(\mathbf{v}\) in der neuen Basis \(\mathbf{b}_i\) auszudrücken. Skizzieren Sie alle Vektoren und verifizieren Sie die Transformation grafisch.
Gegeben sind die Basisfunktionen \(\varphi_1(x) = \sin(\pi x)\) und \(\varphi_2(x) = \sin(2\pi x)\) auf \([0,1]\) sowie \(f(x) = 2\sin(\pi x) - \sin(2\pi x)\). Berechnen Sie \(\mathbf{S}\) und \(\mathbf{p}\). Lösen Sie \(\mathbf{S}\,\mathbf{c} = \mathbf{p}\) um \(f(x)\) in der neuen Basis \(\varphi_i\) auszudrücken.

3. Graphen-Graf

Diesmal ist \(\mathbf{S}\) nicht diagonal.

Gegeben sind die hexagonalen Gittervektoren \(\mathbf{a}_1 = (1,\,0)^T\) und \(\mathbf{a}_2 = \bigl(\tfrac{1}{2},\,\tfrac{\sqrt{3}}{2}\bigr)^T\) sowie \(\mathbf{v} = \bigl(2,\,\sqrt{3}\bigr)^T\). Berechnen Sie \(\mathbf{S}\) und \(\mathbf{p}\). Lösen Sie \(\mathbf{S}\,\mathbf{c} = \mathbf{p}\) um \(\mathbf{v}\) in der neuen Basis \(\mathbf{a}_i\) auszudrücken. Skizzieren Sie alle Vektoren und verifizieren Sie die Transformation grafisch.
Gegeben sind die Basisfunktionen \(\varphi_1(x) = 1\) und \(\varphi_2(x) = x\) auf \([0,1]\) sowie \(f(x) = 1 + 2x\). Berechnen Sie \(\mathbf{S}\) und \(\mathbf{p}\). Lösen Sie \(\mathbf{S}\,\mathbf{c} = \mathbf{p}\) um \(f(x)\) in der neuen Basis \(\varphi_i\) auszudrücken. Was bedeutet ein nicht-verschwindender Überlapp \(S_{12} \neq 0\) für die Berechnung der Koeffizienten, und warum ist \(S_{ij}\neq 0\) für LCAO unvermeidlich?